---

Ejercicio 1:

Si $\Pi$ es el plano que pasa por $(1,2,3)$, $(2,3,4)$ y $(1,2,5)$, la normal de $\Pi$ es paralela al vector

---

Ejercicio 2:

Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ a & 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $\mathbb{S}_0 = \{ \textbf{x} \in \mathbb{R}^{3 \times 1} \, | \, A \textbf{x} = 0 \}$. El conjunto de $a$ para los cuales $\mathbb{S}_0$ es una recta es

---

Ejercicio 3:

Sean $B = \{ V_1 ; V_2 ; V_3 \}$ y $B' = \{ V_1 - V_2 ; V_1 + V_3 ; 2 V_1 + V_3 \}$ bases de un espacio vectorial $\mathbb{V}$. El conjunto de vectores de $\mathbb{V}$ cuyas coordenadas en base $B'$ son de la forma $(a,-a,2a)$ es

---

Ejercicio 4:

Sean $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ y $B \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$, $b \neq 0$. Si $V_1$ y $V_2$ son soluciones de $Ax = b$, otra solución de $Ax = b$ es

---

Ejercicio 5:

Si $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ es tal que $\det A = 3$, entonces $\det (A^2) +\det(-2A)$ es igual a

---

Ejercicio 6:

Sean $\Pi: x - 2y + 2z = 12$ y $\mathbb{L}: \lambda (1,1,0) + (0,0,1)$. Un punto de $\mathbb{L}$ que está a distancia $4$ de $\Pi$ es

---

Ejercicio 7:

Sean $B = \{ (1,1,1);(1,1,0);(1,0,0) \}$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ la t.l tal que

---

Ejercicio 8:

Si $\mathbb{T} = \langle (1,2,1,-1) \rangle$ y $\mathbb{S} = \{ \textbf{x} \in \mathbb{R}^4 \, | \, x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 = 0 \}$, entonces $\mathbb{S} \cap \mathbb{T}^{\perp}$ es igual a

---

Ejercicio 9:

Si $z = 2 \cdot (\cos(\pi/7) + i \sin (\pi/7)$ entonces la forma trigonométrica de $-2z$ es 

---

Ejercicio 10:

Si $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ es tal la t.l. tal que $f(1,1,0) = (2,0,4)$, $f(1,0,0) = (1,0,2)$ y $f(0,0,1) = (0,0,0)$, entonces $M(f)$ es igual a

---

Ejercicio 11:

Si $\Pi: x + k^2 \cdot y - 2 z = 7$ y $\mathbb{L}: \lambda (-2,1,1) + (-3,k,-1)$, el conjunto de $k \in \mathbb{R}$ tales que $\mathbb{L} \cap \Pi = \emptyset$ es

---

Ejercicio 12:

Si $B = \{ (1,-1,0);(-1,1,1);(0,1,0) \}$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la t.l. tal que $M_{EB}(f) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, entonces $f(1,1,1) - f(1,0,0)$ es igual a 

---

Ejercicio 13:

Sean $B = \{ (0,0,1);(0,1,0);(1,0,0) \}$ y $B' = \{ (1,1,1);(0,1,0); \textbf{v} \}$ bases de $\mathbb{R}^3$. Si $(1,2,3)$ tiene las mismas coordenadas en ambas bases, entonces $\textbf{v}$ es igual a 

---

Ejercicio 14:

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la t.l. tal que $M(f) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$. Todos los autovalores de $f$ son

---

Ejercicio 15:

Sean $\mathbb{S} = \{ \textbf{x} \in \mathbb{R}^3 \, | \, x_1 - x_3 = 0 \}$ y $\mathbb{T} = \{ \textbf{x} \in \mathbb{R}^3 \, | \, x_1 + x_2 = 0 \}$. Si $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ es una t.l. tal que $f(\mathbb{S}) = \mathbb{T}$ y $f(\mathbb{T}) = \mathbb{S}$, entonces la dimensión del núcleo de $f$ es 

---

Ejercicio 16:

Sean $\mathbb{T} = \{ \textbf{x} \in \mathbb{R}^4 \, | \, x_1 + x_2 - x_3 = x_2 + x_3 - x_4 = 0 \}$ y $\mathbb{S} = \langle (3,0,k,-2);(1,0,0,2) \rangle$. El conjunto de valores de $k$ para los cuales $\mathbb{R}^4 = \mathbb{S} + \mathbb{T}$ es

---

Ejercicio 17:

Sean $B = \{ (1,1,0);(1,1,1);(1,0,0) \}$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la t.l. tal que $M_{EB}(f) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & a \end{pmatrix}$. El valor de $a \in \mathbb{R}$ tal que $\textbf{v} = (1,2,2)$ es autovector de $f$ es

---

Ejercicio 18:

Sea $P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 + x - 7$. Un polinomio que tiene como raíces al producto y a la suma de las raíces de $P$ es

---

Ejercicio 19:

Sea $B = \{ V_1,V_2 \}$ base de un espacio vectorial $\mathbb{V}$. Si $f: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ es la t.l. tal que $f(V_2) = -V_1 + V_2$ y $f \circ f(V_2) = 4 V_2$, entonces $f(V_1)$ es igual a

---

Ejercicio 20:

Sea $\mathbb{V}$ un e.v. y $p: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ un proyector tal que $\text{Im }p \neq \{ 0 \}$ y $\text{Nu }p \neq \{ 0 \}$. Si $g: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ es la t.l. definida por $g(v) = v - p(v)$, entonces $\text{Nu }g$ es igual a